Как вычисляется формула кинетической и потенциальной энергии. Кинетическая энергия

Энергия - важнейшее понятие в механике. Что такое энергия. Существует множество определений, и вот одно из них.

Что такое энергия?

Энергия - это способность тела совершать работу.

Рассмотрим тело, которое двигалось под действием каких-то сил изменило свою скорость с v 1 → до v 2 → . В этом случае силы, действующие на тело, совершили определенную работу A .

Работа всех сил, действующих на тело, равна работе равнодействующей силы.

F р → = F 1 → + F 2 →

A = F 1 · s · cos α 1 + F 2 · s · cos α 2 = F р cos α .

Установим связь между изменением скорости тела и работой, совершенной действующими на тело силами. Для простоты будем считать, что на тело действует одна сила F → , направленная вдоль прямой линии. Под действием этой силы тело движется равноускоренно и прямолинейно. В этом случае векторы F → , v → , a → , s → совпадают по направлению и их можно рассматривать как алгебраические величины.

Работа силы F → равна A = F s . Перемещение тела выражается формулой s = v 2 2 - v 1 2 2 a . Отсюда:

A = F s = F · v 2 2 - v 1 2 2 a = m a · v 2 2 - v 1 2 2 a

A = m v 2 2 - m v 2 2 2 = m v 2 2 2 - m v 2 2 2 .

Как видим, работа, совершенная силой, пропорционально изменению квадрата скорости тела.

Определение. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия тела равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

Кинетическая энергия - энергия движения тела. При нулевой скорости она равна нулю.

Терема о кинетической энергии

Вновь обратимся к рассмотренному примеру и сформулируем теорему о кинетической энергии тела.

Теорема о кинетической энергии

Работа приложенной к телу силы равна изменению кинетической энергии тела. Данное утверждение справедливо и тогда, когда тело движется под действием изменяющейся по модулю и направлению силы.

A = E K 2 - E K 1 .

Таким образом, кинетическая энергия тела массы m , движущегося со скоростью v → , равна работе, которую сила должна совершить, чтобы разогнать тело до этой скорости.

A = m v 2 2 = E K .

Чтобы остановить тело, нужно совершить работу

A = - m v 2 2 =- E K

Кинетическая энергия - это энергия движения. Наряду с кинетической энергией есть еще потенциальная энергия, то есть энергия взаимодействия тел, которая зависит от их положения.

Например, тело поднято над поверхностью земли. Чем выше оно поднято, тем больше будет потенциальная энергия. Когда тело падает вниз под действием силы тяжести, эта сила совершает работу. Причем работа силы тяжести определяется только вертикальным перемещением тела и не зависит от траектории.

Важно!

Вообще о потенциальной энергии можно говорить только в контексте тех сил, работа которых не зависит от формы траектории тела. Такие силы называются консервативными (или диссипативными).

Примеры диссипативных сил: сила тяжести, сила упругости.

Когда тело движется вертикально вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу.

Рассмотрим пример, когда шар переместился из точки с высотой h 1 в точку с высотой h 2 .

При этом сила тяжести совершила работу, равную

A = - m g (h 2 - h 1) = - (m g h 2 - m g h 1) .

Эта работа равна изменению величины m g h , взятому с противоположным знаком.

Величина Е П = m g h - потенциальна энергия в поле силы тяжести. На нулевом уровне (на земле) потенциальная энергия тела равна нулю.

Определение. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия - часть полной механической энергии системы, находящейся в поле диссипативных(консервативных) сил. Потенциальная энергия зависит от положения точек, составляющих систему.

Можно говорить о потенциальной энергии в поле силы тяжести, потенциальной энергии сжатой пружины и т.д.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

A = - (E П 2 - E П 1) .

Ясно, что потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня (начала координат оси OY). Подчеркнем, что физический смысл имеет изменение потенциальной энергии при перемещении тел друг относительно друга. При любом выборе нулевого уровня изменение потенциальной энергии будет одинаковым.

При расчете движения тел в поле гравитации Земли, но на значительных расстояниях от нее, во внимание нужно принимать закон всемирного тяготения (зависимость силы тяготения от расстояния до цента Земли). Приведем формулу, выражающую зависимость потенциальной энергии тела.

E П = - G m M r .

Здесь G - гравитационная постоянная, M - масса Земли.

Потенциальная энергия пружины

Представим, что в первом случае мы взяли пружину и удлинили ее на величину x . Во втором случае мы сначала удлинили пружину на 2 x , а затем уменьшили на x . В обоих случаях пружина оказалась растянута на x , но это было сделано разными способами.

При этом работа силы упругости при изменении длины пружины на x в обоих случаях была одинакова и равна

A у п р = - A = - k x 2 2 .

Величина E у п р = k x 2 2 называется потенциальной энергией сжатой пружины. Она равна работе силы упругости при переходе из данного состояния тела в состояние с нулевой деформацией.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В § 88 выражение было названо кинетической энергией тела. Рассмотрим подробнее содержание этого понятия.

Допустим, что тело массы было вначале неподвижно (рис. 5.8). На него подействовала сила под действием которой тело прошло расстояние приобретя скорость При этом сила совершила работу и будет иметь место соотношение

Если взять другое тело массы и той же силой совершить такую же работу то для возникшего движения снова будет справедливо соотношение

где конечная скорость тела массы

Одна и та же работа силы сообщает телам с разной массой всегда один и тот же запас движения, и это выражается равенством

Таким образом, кинетическую энергию тела можно рассматривать как меру запаса движения данного тела. С помощью этой меры можно сравнивать между собой те запасы движения, которыми обладают различные тела или системы тел. Замечательно то, что эта мера учитывает любые движения независимо от их направления.

Поэтому она может быть использована для расчета не только упорядоченных движений тел, но и неупорядоченных, хаотических движений, происходящих в сложных системах многих тел. Используя, например, понятие кинетической энергии, можно количественно определить тот запас движения, которым обладает некоторая масса газа. Молекулы газа совершают непрерывные хаотические движения. Сумма кинетических энергий этих молекул определит энергию всей массы газа, т. е. даст количественную характеристику интенсивности теплового движения, запасенного в этом газе. Она также даст количественное представление о состоянии движения системы тел в целом.

Отметим, что получить представление о состоянии внутренних движений в системе тел с помощью вектора количества движения нельзя. Возьмем, например, два тела одинаковой массы которые движутся в противоположных направлениях с равными по модулю скоростями Количество движения каждого из тел будет равно Это дает представление о том, как движется каждое тело в отдельности. Количество же движения всей системы в целом, равное векторной сумме количеств движения отдельных тел, будет равно нулю.

Зная только этот результат (количество движения системы равно нулю), мы даже не можем сказать, движутся ли тела системы вообще. Кинетическая же энергия такой системы будет равна Зная это, во-первых, мы можем сделать вывод о том, что в данной системе тел есть движение, во-вторых, мы можем судить, насколько велик запас этого движения.

Рассмотрим случай, когда тело массы двигаясь со скоростью (рис. 5.9), встречается с другим телом (например пружинкой). При взаимодействии возникают силы, тормозящие движение тела и вызывающие деформацию или движение другого тела. Таким образом, оказывается, что движущееся тело при встрече с другими

телами может совершить некоторую работу по деформации или приведению этих тел в движение. Найдем эту работу.

По третьему закону Ньютона в любой момент времени сила действия тела на пружинку равна силе развиваемой пружинкой: Поэтому работа тела при его торможении равна работе пружинки с обратным знаком:

Подставляя получим

Это дает нам право утверждать, что кинетическая энергия любого тела определяет ту работу, которую может совершить движущееся тело во время остановки при взаимодействии с другими телами. Кинетическая энергия выступает как мера работоспособности движущегося тела. Об этом же говорит и происхождение самого слова «энергия». По-гречески слово «энергия» означает деятельность, работоспособность.

Итак, каждое движущееся тело способно произвести некоторое количество работы. Эта работа определяется массой и скоростью тела. Если тело во время взаимодействия совершает эту работу, то начинает исчезать движение тела. При совершении работы движение тела превращается в движение других тел или их частей. При этом может происходить и превращение механического движения в другие формы движения материи, например превращение механического движения в тепловое.

Окончательный вывод: кинетическая энергия является мерой запаса движения тела и одновременно определяет работу, которую тело способно совершить при взаимодействии с другими телами.

Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости:

Из уравнения ясно, что единицы кинетической энергии те же, что и единицы работы: (§ 89).

Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения этой системы.

Сила F , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

Используя второй закон Ньютона F =mdv /dt

и умножая обе части равенства на перемещение dr , получим

F dr =m(dv /dt)dr=dA

Таким образом, тело массой т, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией

Т = т v 2 /2. (12.1)

Из формулы (12.1) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

При выводе формулы (12.1) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.

Потенциальная энергия - механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них,- консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной; ее примером является сила трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией II. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

Работа dА выражается как скалярное произведение силы F на перемещение dr и выражение (12.2) можно записать в виде

F dr =-dП. (12.3)

Следовательно, если известна функция П(r ), то из формулы (12.3) можно найти силу F по модулю и направлению.

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (12.3) как

где С - постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Для консервативных сил

или в векторном виде

F =-gradП, (12.4) где

(i, j, k - единичные векторы координатных осей). Вектор, определяемый выражением (12.5), называется градиентом скаляра П.

Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение П.  («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

П = mgh, (12.7)

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П 0 = 0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!}. Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h"), П= - mgh".

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

F х упр = -kx,

где F x упр - проекция силы упругости на ось х; k - коэффициент упругости (для пружины - жесткость), а знак минус указывает, что F x упр направлена в сторону, противоположную деформации х.

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е.

F x =-F x упр =kx Элементарная работа dA, совершаемая силой F x при бесконечно малой деформации dx, равна

dA = F x dx = kxdx,

а полная работа

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

П=kx 2 /2.

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы - энергия механического движения и взаимодействия:

т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ , энергия, которой обладает движущийся предмет. Получает ее, начав двигаться. Зависит от массы () предмета и его скорости (v ), согласно равенству: К. э. = 1/2mv 2 . При ударе преобразуется в другую форму энергии, такую как тепловая, звуковая или световая. см. также ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ .

Кинетическая энергия. Движущийся грузовик обладает кинетической энергией (А). Для того, чтобы увеличить его скорость, ему нужно сообщить дополнительную энергию, достаточную для преодоления трения и сопротивления воздуха, и увеличения скорости. Для того, чтобы понизить кинетическую энергию грузовика, необходимую для того чтобы кинетическая энергия была преобразована в тепловую энергию тормозов и шин (В), Кинетическая энергия нагруженного грузовика, двигающегося с такой же скоростью, будет больше из-за большей массы (С) и ему понадобится больше тормозной силы, чтобы растратить кине тическую энергию и остановиться на том же расстоянии, что и ненагруженный грузовик.

Научно-технический энциклопедический словарь .

Кинетическая энергия - это энергия движения тела. Соотвественно, если у нас есть какой-то объект, обладающий хоть какой-то массой и хоть какой-то скоростью, то он и обладает кинетической энергией. Однако относительно разных систем отсчета эта кинетическая энергия у одного и того же объекта может быть разной.

Пример. Есть бабушка, которая относительно земли нашей планеты находится в состоянии покоя, то есть не движется и, скажем, сидит на остановке в ожидании своего автобуса. Тогда относительно нашей планеты ее кинетическая энергия равна нулю. Но если посмотреть на эту же бабушку с Луны или с Солнца, относительно которых можно наблюдать движение планеты и, соответственно, этой бабушки, которая находится на нашей планете, то бабушка уже будет обладать кинетической энергией относительно упомянутых небесных тел. И тут приезжает автобус. Эта самая бабушка быстро встает и бежит занимать положенное ей место. Теперь относительно планеты она уже не в покое, а вполне себе движется. А значит и обладает кинетической энергией. И чем толще бабушка и быстрее, тем больше ее кинетическая энергия.

Есть несколько фундаментальных видов энергии - основных. Расскажу, например, про механические. К ним относятся энергия кинетическая, которая зависит от скорости и массы объекта, энергия потенциальная, которая зависит от того, где вы возьмете нулевой уровень потенциальной энергии, и от того положения, где находится этот объект относительно нулевого уровня потенциальной энергии. То есть потенциальная энергия - энергия, зависящая от положения объекта. Эта энергия характеризует работу, совершаемую полем, в котором находится объект, по его перемещению.

Пример. Несете вы в руках огромную коробку и падаете. Коробка лежит на полу. Выходит, что нулевой уровень потенциальной энергии у вас будет находится, соответственно, на уровне пола. Тогда верхняя часть коробки будет обладать большей потенциальной энергией, так как она находится выше пола и выше нулевого уровня потенциальной энергии.

Глупо говорить про энергию, не упомянув закон о ее сохранении. Таким образом, по закону сохранения энергии, эти два ее вида, описывающих состояние объекта, ни откуда не берутся и никуда не исчезают, а только переходят друг в друга.

А вот и пример. Падаю я с высоты дома, изначально имея потенциальную энергию относительно земли в момент перед прыжком, а моя кинетическая энергия пренебрежимо мала, поэтому можем приравнять её к нулю. Вот я отрываю ножки от карниза и моя потенциальная энергия начинает уменьшаться, так как высота, на которой я нахожусь, становится все меньше и меньше. В этот же момент при падении вниз я постепенно приобретаю кинетическую энергию, так как падаю вниз все с большей скоростью. В момент падения я уже обладаю максимальной кинетической энергией, но потенциальная равно нулю, такие дела.